Pemaparan dibawah ini adalah manfaat Permutasi dan Kombinasi dalam ilmu komputer, saya disini mengambil contoh pemrograman java.
Berikut ini merupakan kodingan permutasi dan kombinasi pada bahasa pemrograman java menggunakan pilihan menu. Kodingannya sebagai berikut:
import java.io.*; //menambahkan fungsi java.io yang diantaranya fungsi (InputStreamReader dan BufferedReader)
import javax.swing.*; //meng-import class JOptionPane dari package javax.swing
public class permutasi_dan_kombinasi {
public static void main(String[] args) throws IOException{ /*untuk penanganan kesalahan*/
BufferedReader input=new BufferedReader (new InputStreamReader(System.in)); /*untuk membaca inputan dari user*/
do {
System.out.println("PROGRAM PERMUTASI DAN KOMBINASI");
System.out.println("===============================");
System.out.println("1. Permutasi");
System.out.println("2. Kombinasi");
System.out.println("3. Keluar");
System.out.println("===============================");
System.out.print("Masukan pilihan [1-3] = ");
int pi=Integer.parseInt(input.readLine());
switch(pi){ /*instruksi percabangan untuk menyederhanakan instruksi percabangan supaya kondisi yang ada menjadi lebih sedikit*/
case 1:
System.out.println("Bentuk Umum Permutasi mPn");
System.out.print("Masukan bilangan m = ");
int m=Integer.parseInt(input.readLine());
System.out.print("Masukan bilangan n = ");
int n=Integer.parseInt(input.readLine());
int o=1;
int s=1;
int p, q, r;
for(p=m;p>=1;p--) {
o*=p;
}
q=(m-n);
for(r=q;r>=1;r--) {
s*=r;
}
System.out.println(m+"P"+n+" = "+(o/s));
break;
case 2:
System.out.println("Bentuk Umum Kombinasi xCy");
System.out.print("Masukan bilangan x = ");
int x=Integer.parseInt(input.readLine());
System.out.print("Masukan bilangan y = ");
int y=Integer.parseInt(input.readLine());
int t=1;
int u=1;
int v=1;
int w, z, k, j;
for(w=x;w>=1;w--) {
t*=w;
}
k=(x-y);
for(z=k;z>=1;z--) {
u*=z;
}
for(j=y;j>=1;j--) {
v*=j;
}
System.out.println(x+"C"+y+" = "+(t/(u*v)));
break;
case 3:
break;
default:
System.out.println("Tolong masukan yang benar pilihannya!!");
break;
}
}
/*menampilkan sebuah dialog untuk melakukan konfirmasi pemakai tentang suatu proses yang tampilannya berupa yes, no atau cancel*/
while (JOptionPane.showConfirmDialog(null,"Ulang lagi?")==JOptionPane.YES_OPTION);
}
}
inilah outputnya :
tampilan menu :
tampilan pilihan 1, yaitu permutasi :
tampilan dialog box, klik yes untuk mengulang ke menu awal :
tampilan pilihan 2, yaitu kombinasi :
tampilan pilihan 3, yaitu keluar atau pada kotak dialog box pilih no :
Minggu, 16 Desember 2012
Kamis, 13 Desember 2012
Soal-soal Permutasi dan Kombinasi
PERMUTASI
1. Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawaban:
3P3 = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6 cara
2. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada bera pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawaban:
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
= 4.3.2.1
= 24 cara
4. Dua bidang tembok akan dicat dengan 3 warna pilihan yaitu: merah, kuning, dan hijau. Ada berapakah cara kita dapat menyusun warna-warna tersebut?
Jawaban:
33 = 3.3 = 9 cara
5. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:
P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
= 840 cara
6. Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:
Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)
Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.
7. Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawaban:
nPx = n!
3P3 = 3!
= 1 x 2 x 3
= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).
8. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawaban:
nPx = (n!)/(n-x)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .
9. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawaban:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)!
= 7!/4!
= 7.6.5
= 210 cara
10. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawaban:
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
11. Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C
jawab:
Jika A sebagai urutan I : ABC
Jika B sebagai urutan I : BCA
Jika C sebagai urutan III : CAB
Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D
jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6
12. Permutasikan semua huruf dari MISSISSIPPI !
Jawaban:
11! / [ 1! 4! 4! 2! ] = 34650
KOMBINASI
1) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!
= (4.3.2.1) / 3.2.1.1
= 24 / 6
= 4 cara
2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).
3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan
4) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2
5) Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan
b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.
Jawaban:
a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara
6) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawaban:
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara
7) Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?
Jawaban:
7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara
8) Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban:
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara
9) Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
Jawaban:
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara
10) Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
Jawaban:
9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36 cara
11) 4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Jawaban:
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360
1. Dalam beberapa cara 3 orang ppedagang kaki lima (A, B, C) yang menempati suatu lokasi perdagangan akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?
Jawaban:
3P3 = 3!
= 3 × 2 × 1
= 6 cara
2. Menjelang HUT RI yang akan datang di salah satu RT akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada bera pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?
Jawaban:
6P2 = 6!/(6-2)!
= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)
= 720/24
= 30 cara
3. Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 5 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?
Jawaban:
P5 = (5-1)!
= 4.3.2.1
= 24 cara
4. Dua bidang tembok akan dicat dengan 3 warna pilihan yaitu: merah, kuning, dan hijau. Ada berapakah cara kita dapat menyusun warna-warna tersebut?
Jawaban:
33 = 3.3 = 9 cara
5. Dalam berapa carakah kata “JAKARTA” dapat dipermutasikan?
Jawaban:
P7 = 7! / 1!.3!.1!.1!.1!
= 840 cara
6. Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?
Jawaban:
Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)
Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:
Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.
7. Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawaban:
nPx = n!
3P3 = 3!
= 1 x 2 x 3
= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).
8. Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawaban:
nPx = (n!)/(n-x)!
4P2 = (4!)/(4-2)!
= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .
9. Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
Jawaban:
Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.
Maka banyaknya cara duduk ada :
7P3 = 7!/(7-3)!
= 7!/4!
= 7.6.5
= 210 cara
10. Ada berapa cara 7 orang yang duduk mengelilingi meja dapat menempati ketujuh tempat duduk dengan urutan yang berlainan?
Jawaban:
Banyaknya cara duduk ada (7 – 1) ! = 6 ! ® 6 . 5 . 4. 3 . 2 . 1 = 720 cara.
11. Tentukan banyaknya permutasi siklus dari 3 unsur yaitu A, B, C
jawab:
Jika A sebagai urutan I : ABC
Jika B sebagai urutan I : BCA
Jika C sebagai urutan III : CAB
Jika banyak unsur n=4 –> A, B, C, D
jadi banyaknya permutasi siklis dari 4 unsur ( A B C D) adalah 4!/4 = 4.3.2.1/4 = 6
12. Permutasikan semua huruf dari MISSISSIPPI !
Jawaban:
11! / [ 1! 4! 4! 2! ] = 34650
KOMBINASI
1) Dalam mengadakan suatu pemilihan dengan menggunakan obyek 4 orang pedagang kaki lima untuk diwawancarai, maka untuk memilih 3 orang untuk satu kelompok. Ada berapa cara kita dapat menyusunnya?
Jawaban:
4C3 =4! / 3! (4-3)!
= (4.3.2.1) / 3.2.1.1
= 24 / 6
= 4 cara
2) Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawaban:
nCx = (n!)/(x!(n-x)!)
4C3 = (4!)/(3!(4-3)!)
= 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).
3) Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawaban:
10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan
4) Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.
Jawaban:
3C2 . 2C1 = (3!)/(2!(3-2)!) . (2!)/(1!(2-1)!) = 6 cara, yaitu : L1 L2 W1 ; L1 L3 W1 ; L2 L3 W1 ; L1 L2 W2 ; L1 L3 W2 ; L2 L3 W2
5) Dalam sebuah ujian, seorang mahasiswa diwajibkan mengerjakan 5 soal dari 8 soal yg tersedia. Tentukan:
a. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin untuk dikerjakan
b. banyaknya jenis pilihan soal yg mungkin dikerjakan jika no.6 dan 7 wajib dikerjakan.
Jawaban:
a. 8 C5 = 8!/5!(8-5)! = (8×7×6×5!)/5!3! = 56 cara
b. 6C3 = 6!/3!(6-2)! = (6×5×4×3!)/3!3! = 20 cara
6) Banyak cara memilih 4 pengurus dari 6 calon, yang ada sama dengan ....
Jawaban:
6C4 = 6!/4!(6-4)! = (6×5×4!)/4!2! = 15 cara
7) Dalam sebuah kantoh terdapat 7 kelereng. Berapa banyak cara mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut?
Jawaban:
7C4 = 7!/4!(7-4)! = (7×6×5×4!)/4!3! = 35 cara
8) Siswa di minta mengerjakan 9 dari 10 soal ulangan , tetapi soal 1-5 harus di kerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid adalah.
Jawaban:
5C4 = 5!/4!(5-4)! = (5×4!)/4!1! = 5 cara
9) Seorang peternak akan membeli 3 ekor ayam dan 2 ekor kambing dari seorang pedagang yang memiliki 6 ekor ayam dan 4 ekor kambing. Dengan berapa cara peternak tersebut dapat memilih ternak-ternak yang di inginkannya?
Jawaban:
Banyak cara memilih ayam = 6C3 = 6!/3!(6-3)! = 6!/3!3! = 20 cara
Banyak cara memilih kambing = 4C2 = 4!/2!(4-2)! = (4×3×2!)/2!2! = 6 cara
Jadi, peternak tersebut memiliki pilihan sebanyak = 20×6 = 120 cara
10) Dalam sebuah ruangan terdapat 9 orang. Jika mereka saling bersalaman maka berapa banyak salaman yang akan terjadi?
Jawaban:
9C2 = 9!/2!(9-2)! = (9×8×7!)/2!7! = 36 cara
11) 4 Sebuah perusahaan membutuhkan karyawan yg terdiri dari 5 putra dan 3 putri. Jika terdapat 15 pelamar, 9 diantaranya putra. Tentukan banyaknya cara menyeleksi karyawan!
Jawaban:
Pelamar putra = 9 dan pelamar putri 6 banyak cara menyeleksi:
9C5 x 6C3 = 9!/5!x(9-5)! x 6!/3!x(6-3)! = 2360
Link Arek-arek:
Minggu, 09 Desember 2012
Minggu, 18 November 2012
PENERAPAN MATEMATIKA DISKRIT PADA PROGRAM
KOMPUTER
Karena teknologi informasi
menyediakan akses informasi yang dapat secara langsung mendukung pelaksanaan
kegiatan proses belajar dan mengajar. Pemrograman web pada teknologi
informasi menggunakan ilmu logika, perhitungan, bilangan biner, aritmatika,
sistem bilangan, integral dan masih banyak yang dimanfaatkan untuk keperluan di
bidang teknologi informasi. Banyaknya peranan dari matematika terhadap
teknologi informasi menjadikan ilmu komputer suatu disiplin ilmu yang baru
dengan berbagai ilmu di dalamnya seperti algoritma, aljabar boolean, matematika
diskrit maupun statistika.
Berbagai aplikasi yang telah kita
gunakan pada masa sekarang ini adalah salah satu peranan matematika terhadap
perkembangan teknologi informasi. Tanpa dasar-dasar dari matematika, maka
penemu, penggagas serta pembuat program akan sangat kesulitan dalam menemukan
ide-ide ke arah aplikasi yang canggih dengan dibantu dengan peralatan yang
modern.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan
bahwa telah banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di bidang
lain. Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang digunakan untuk
pengembangan di berbagai bidang adalah Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan
Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial
digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan
sehari-hari.
Contoh kasus yang sering dijumpai
seperti pada gaya pegas. Gaya pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam
bidang pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari gaya pegas
ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika dalam bentuk simbol dan
rumus sehingga perhitungan dari gaya pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat.
Pada bagian inilah persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam
mengubah suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke dalam
bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah persamaan tersebut
menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang termasuk
dalam ilmu matematika ini menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya
dalam ilmu matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
PENERAPAN DIFERENSIAL PADA KOMPUTER
Awal mula komputer yang sebenarnya
dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871).
Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan
matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama
berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana
dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga
menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha
Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika
ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan
differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan
menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat
melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis.
Setelah bekerja dengan Mesin
Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai
membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical
Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting
dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari
pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada
publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya
membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi
programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika
Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai
penghormatan kepadanya.
Mesin uap Babbage,walaupun tidak
pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan
standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar
dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri
dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan
kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi
mesin tersebut.
Pada Tahun 1889,Herman Hollerith
(1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan
penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk
melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang
dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan
perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa
dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus.
Hollerith menggunakan kartu perforasi
untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah
kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil
sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan
dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan
data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith
kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia
mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi
International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali
merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi
alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh
kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.
Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur
membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah
kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin
tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini
dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat
karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan
perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba
membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit
elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864)
berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik
dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi
benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff
dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka
terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.
PENERAPAN MATEMATIKA DISKRIT PADA PROGRAM
KOMPUTER
Karena teknologi informasi
menyediakan akses informasi yang dapat secara langsung mendukung pelaksanaan
kegiatan proses belajar dan mengajar. Pemrograman web pada teknologi
informasi menggunakan ilmu logika, perhitungan, bilangan biner, aritmatika,
sistem bilangan, integral dan masih banyak yang dimanfaatkan untuk keperluan di
bidang teknologi informasi. Banyaknya peranan dari matematika terhadap
teknologi informasi menjadikan ilmu komputer suatu disiplin ilmu yang baru
dengan berbagai ilmu di dalamnya seperti algoritma, aljabar boolean, matematika
diskrit maupun statistika.
Berbagai aplikasi yang telah kita
gunakan pada masa sekarang ini adalah salah satu peranan matematika terhadap
perkembangan teknologi informasi. Tanpa dasar-dasar dari matematika, maka
penemu, penggagas serta pembuat program akan sangat kesulitan dalam menemukan
ide-ide ke arah aplikasi yang canggih dengan dibantu dengan peralatan yang
modern.
Teknologi yang berkembang saat ini menunjukkan
bahwa telah banyak penerapan dari matematika dalam pengembangan ilmu di bidang
lain. Salah satu contoh penerapan ilmu komputer yang digunakan untuk
pengembangan di berbagai bidang adalah Persamaan Diferensial Elementer. Persamaan
Diferensial Elementer membahas mengenai bagaimana persamaan diferensial
digunakan atau dimanfaatkan dalam memecahkan suatu masalah dalam kehidupan
sehari-hari.
Contoh kasus yang sering dijumpai
seperti pada gaya pegas. Gaya pegas sangat dibutuhkan untuk kegiatan-kegiatan dalam
bidang pembangunan maupun bidang teknik. Persamaan diferensial dari gaya pegas
ini kemudian dijadikan sebuah persamaan matematika dalam bentuk simbol dan
rumus sehingga perhitungan dari gaya pegas ini menjadi lebih mudah dan cepat.
Pada bagian inilah persamaan diferensial elementer sangat berperan dalam
mengubah suatu persamaan persamaan diferensial dan menyelesaikannya ke dalam
bentuk persamaan linear atau yang lebih dikenal adalah persamaan tersebut
menjadi sebuah rumus. Oleh karena itu, persamaan diferensial yang termasuk
dalam ilmu matematika ini menjadi sangat penting untuk dipelajari tidak hanya
dalam ilmu matematika saja tetapi juga dalam ilmu-ilmu yang lain.
PENERAPAN DIFERENSIAL PADA KOMPUTER
Awal mula komputer yang sebenarnya
dibentuk oleh seorang profesor matematika Inggris,Charles Babbage (1791-1871).
Tahun 1812,Babbage memperhatikan kesesuaian alam antara mesin mekanik dan
matematika yaitu mesin mekanik sangat baik dalam mengerjakan tugas yang sama
berulangkali tanpa kesalahan,sedang matematika membutuhkan repetisi sederhana
dari suatu langkah-langkah tertentu.Masalah tersebut kemudain berkembang hingga
menempatkan mesin mekanik sebagai alat untuk menjawab kebutuhan mekanik.Usaha
Babbage yang pertama untuk menjawab masalah ini muncul pada tahun 1822 ketika
ia mengusulkan suatu mesin untuk melakukanperhitungan persamaan
differensial.Mesin tersebut dinamakan Mesin Differensial.Dengan
menggunakan tenaga uap,mesin tersebut dapat menyimpan program dan dapat
melakukan kalkulasi serta mencetak hasilnya secara otomatis.
Setelah bekerja dengan Mesin
Differensial selama sepuluh tahun,Babbage tiba-tiba terinspirasi untuk memulai
membuat komputer general-purpose yang pertama,yang disebut Analytical
Engine.Asisten Babbage,Augusta Ada King (1815-1842) memiliki peran penting
dalam pembuatan mesin ini.Ia membantu merevisi rencana,mencari pendanaan dari
pemerintah Inggris,dan mengkomunikasikan spesifikasi Analytical Engine kepada
publik.Selain itu,pemahaman Augusta yang baik tentang mesin ini memungkinkannya
membuat instruksi untuk dimasukkan ke dalam mesin dan juga membuatnya menjadi
programmer wanita yang pertama.Pada tahun 1980,Departemen Pertahanan Amerika
Serikat menamakan sebuah bahasa pemrograman dengan nama ADA sebagai
penghormatan kepadanya.
Mesin uap Babbage,walaupun tidak
pernah selesai dikerjakan,tampak sangat primitif apabila dibandingkan dengan
standar masa kini.Bagaimanapun juga,alat tersebut menggambarkan elemen dasar
dari sebuah komputer modern dan juga mengungkapkan sebuah konsep penting.Terdiri
dari sekitar 50.000 komponen,disain dasar dari Analytical Engine menggunakan
kartu-kartu perforasi (berlubang-lubang) yang berisi instruksi operasi bagi
mesin tersebut.
Pada Tahun 1889,Herman Hollerith
(1860-1929) juga menerapkan prinsip kartu perforasi untuk melakukan
penghitungan.Tugas pertamanya adalah menemukan cara yang lebih cepat untuk
melakukan perhitungan bagi Biro Sensus Amerika Serikat.Sensus sebelumnya yang
dilakukan di tahun 1880 membutuhkan waktu tujuh tahun untuk menyelesaikan
perhitungan.Dengan berkembangnya populasi,Biro tersebut memperkirakan bahwa
dibutuhkan waktu sepuluh tahun untuk menyelesaikan perhitungan sensus.
Hollerith menggunakan kartu perforasi
untuk memasukkan data sensus yang kemudian diolah oleh alat tersebut secara mekanik.Sebuah
kartu dapat menyimpan hingga 80 variabel.Dengan menggunakan alat tersebut,hasil
sensus dapat diselesaikan dalam waktu enam minggu.Selain memiliki keuntungan
dalam bidang kecepatan,kartu tersebut berfungsi sebagai media penyimpan
data.Tingkat kesalahan perhitungan juga dapat ditekan secara drastis.Hollerith
kemudian mengembangkan alat tersebut dan menjualnya ke masyarakat luas.Ia
mendirikan Tabulating Machine Company pada tahun 1896 yang kemudian menjadi
International Business Machine (1924) setelah mengalami beberapa kali
merger.Perusahaan lain seperti Remington Rand and Burroghs juga memproduksi
alat pembaca kartu perforasi untuk usaha bisnis.Kartu perforasi digunakan oleh
kalangan bisnis dan pemerintahan untuk permrosesan data hingga tahun 1960.
Pada masa berikutnya,beberapa Insinyur
membuat penemuan baru lainnya.Vannevar Bush (1890-1974) membuat sebuah
kalkulator untuk menyelesaikan persamaan differensial di tahun 1931.Mesin
tersebut dapat menyelesaikan persamaan differensial kompleks yang selama ini
dianggap rumit oleh kalangan akademisi.Mesin tersebut sangat besar dan berat
karena ratusan gerigi dan poros yang dibutuhkan untuk melakukan
perhitungan.Pada tahun 1903,John V. Atanasoff dan Clifford Berry mencoba
membuat komputer elektrik yang menerapkan aljabar Boolean pada sirkuit
elektrik.Pendekatan ini didasarkan pada hasil kerja George Boole (1815-1864)
berupa sistem biner aljabar,yang menyatakan bahwa setiap persamaan matematik
dapat dinyatakan sebagai benar atau salah.Dengan mengaplikasikan kondisi
benar-salah ke dalam sirkuit listrik dalam bentuk terhubung-terputus,Atanasoff
dan Berry membuat komputer elektrik pertama di tahun 1940.Namun proyek mereka
terhenti karena kehilangan sumber pendanaan.
Selasa, 23 Oktober 2012
Nama : David Susilo Wijaya
NPM : 06110220
Kelas : B
Persamaan diferensial pada matematika diskrit khususnya adalah Persamaan suatu fungsi matematika yang memiliki satu variabel atau lebih, dimana fungsi tersebut saling berhubungan antara fungsi itu sendiri dan turunanya.Selain dalam matematika diskrit, Persamaan diferensial ini juga digunakan dalam ilmu hitung lainya baik dari ilmu fisika, ekonomi dan ilmu lainya.Persamaan diferensial parsial (PDP) adalah persamaan diferensial di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari banyak variabel bebas, dan persamaan tersebut juga melibatkan turunan parsial.Orde persamaan didefinisikan seperti pada persamaan diferensial biasa, namun klasifikasi lebih jauh ke dalam persamaan eliptik, hiperbolik, dan parabolik, terutama untuk persamaan diferensial linear orde dua, sangatlah penting. Baik persamaan diferensial biasa maupun parsial dapat digolongkan sebagai linier atau nonlinier.Klasifikasi lain adalah tergantung pada banyaknya fungsi-fungsi yang tidak diketahui.Jika hanya terdapat fungsi tunggal yang akan ditentukan maka satu persamaan sudah cukup.Akan tetapi jika terdapat dua atau lebih fungsi yang tidak diketahui maka sebuah sistem dari persamaan diperlukan.Untuk contohnya, persamaan Lotka-Volterra atau predator-pray adalah contoh sistem persamaan yang sangat penting yang merupakan model dalam ekologi.Persamaan tersebut mempunyai bentuk:
dx/dt = ax - axy
dy/dt = -cy+ °xy
Persamaan diferensial sendiri dapat dibagi menurut
Menurut jenis atau tipe : yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. d3y/dx3 adalah orde tiga d2y/dx2adalah orde dua dy/dx adalah orde satu.
Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: ( d3y/dx3)2 + ( d2y / dx2)5 + y/x2+1 =ex adalah persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua.
Penerapan persamaan diferensial pada kehidupan sehari-hari dan Matematika diskrit.
Langganan:
Postingan (Atom)